Zahlensysteme

Das römische Zahlensystem

In der römischen Antike entstanden.

Ziffer	Wert
I	1
V	5
X	10
L	50
C	100
D	500
M	1000

Zusammensetzung römischer Zahlen

Römische Zahlen sind eine additive Zahlschrift. Ziffern die nacheinander gestellt werden, werden addiert.

III = 3

Jedoch gibt es auch Subtraktionsregeln

IV = 4

Weitere Beispiele

MDCCCCLXXXIIII = 1984

1x1000 + 1x500 + 4x100 + 1x50 + 3x10 + 4x1
   M       D     CCCC     L     XXX    IIII

MCMLXXXIV = 1984

1×1000 + (−1×100 + 1×1000) + 1x50 + 3x10 + (−1×1 + 1×5)
   M            CM             L    XXX          IV

Römisches Zahlensystem - Nachteile

unterschiedliche Schreibweisen für dieselbe Zahl
Rechnen mit römischen Zahlen ist schwierig

Das Dezimalsystem

Das Dezimalsystem ist das uns geläufige Zahlensystem mit dem wir aufgewachsen sind, und mit dem wir rechnen lernten.

Vermutlich entwickelte sich das Dezimalsystem weil dem Menschen 10 Finger zum Rechnen zur Verfügung stehen.

Das Dezimalsystem (2)

hat als Basis die Zahl Zehn (dezi = 10)
Es gibt zehn Ziffern (0 .. 9)
Wird von rechts nach links im Stellenwert immer höher (Basis 10 mit der Stelle potenziert)


$10^3$	$10^2$	$10^1$	$10^0$
1000	100	10	1

Bsp Dezimalsystem

Die Zahl 243:


2	4	3
$2*10^2$	$4 * 10^1$	$3 * 10^0$
200	40	3

$243 = (2 * 10^2) + (4 * 10^1) + (3 * 10^0)$

Das Binärsystem

Der Computer kann nur zwischen Null und Eins unterscheiden.

Strom / Kein Strom
Magnetisiert / nicht magnetisiert

Er verwendet deswegen das Binärsystem (bi = 2) zum Rechnen.

Man spricht nicht von Ziffern, sondern von Bits.

Das Binärsystem (2)

hat die gleiche Struktur wie das Dezimalsystem
Stellen steigen von Rechts nach links in ihrer Wertigkeit
Basis 2 anstatt Basis 10 wie beim Dezimalsystem


$2^3$	$2^2$	$2^1$	$2^0$
8	4	2	1

Bsp Binärsystem

Die Zahl $10011_2$ :


1	0	0	1	1
$1*2^4$	$0 * 2^3$	$0 * 2^2$	$1 * 2^1$	$1 * 2^0$
16	0	0	2	1

$10011_2$ $= (1 * 2^4) + (0 * 2^3) + (0 * 2^2) + (1 * 2^1) + (1 * 2^0)$ $= 19_{10}$

Schreibweise

Um zu unterscheiden in welchem Zahlensystem man sich befindet verwenden werden Zahlen gekennzeichnet. zB

$1001_2$ - Binärsystem
$243_{10}$ - Dezimalsystem
$146_8$ - Oktalsystem
$F3_{16}$ oder 0xF3 - Hexadezimalsystem

Umrechnung von Dezimal nach Dual

Der umzuwandelnde Wert wird fortlaufend durch 2 geteilt und der Rest der Division mitgeschrieben. Das wird wiederholt bis nichts mehr übrig ist.

Bsp - Dezimal nach Dual

Wir rechnen $243_{10}$ in eine Binärzahl um:

Schritt	Operation	Ergebnis	Rest
1	243 : 2	121	1
2	121 : 2	60	1
3	60 : 2	30	0
4	30 : 2	15	0
5	15 : 2	7	1
6	7 : 2	3	1
7	3 : 2	1	1
8	1 : 2	0	1

Für das Ergebnis wird die Spalte Rest von unten nach oben gelesen: $243_{10} = 11110011_2$

Das Oktalsystem

Ist ein weiteres System das in der EDV Verwendung findet. Es ist ebenfalls wie das Dezimal- und das Binärsystem aufgebaut, jedoch mit der Basis 8.

Es besteht aus den Ziffern 0 .. 7. Drei Bits aus dem Binärsystem können mit einer Ziffer des Oktalsystems dargestellt werden.


$8^3$	$8^2$	$8^1$	$8^0$
512	64	8	1

Bsp Oktalsystem

$363_8 = (3 * 8^2) + (6 * 8^1) + (3 * 8^0) = 243_{10}$

Hexadezimalsystem

Noch ein Zahlensystem das in der Informatik Anwendung findet, sogar noch weiter verbreitet als das Oktalsystem.

Es ist ebenfalls wie das Dezimal-, Binär- und Oktalsystem aufgebaut, jedoch mit der Basis 16.

Es besteht aus den Ziffern 0 .. 9 und A .. F

Ziffern des Hexadezimalsystems

Hexadezimal	Dezimal	Binär
0	0	0000
1	1	0001
2	2	0010
3	3	0011
4	4	0100
5	5	0101
6	6	0110
7	7	0111
8	8	1000
9	9	1001
A	10	1010
B	11	1011
C	12	1100
D	13	1101
E	14	1110
F	15	1111

Bsp Hexadezimalsystem

$F3_{16} = (15 * 16^1) + (3 * 16^0) = 243$

Umwandlung Dezimal nach Hexadezimal

funktioniert gleich wie von Dezimal nach Binär, nur dass durch 16 dividiert wird.

Bsp $168_{10}$ nach Hexadezimal umwandeln:

Schritt	Operation	Ergebnis	Rest	Rest als Hex
1	168 : 16	10	8	8
2	10 : 16	0	10	A

$168_{10}$ = Rest als Hex von unten nach oben: $A8_{16}$